Ejercicios de Pendiente
1. Halla la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (1,6) y (5,-2).
Respuesta: m= -2, ángulo=116.565°
2. Hallar el ángulo obtuso del paralelogramo cuyos vértices son: A(-2,1), B(1,5) y C(10,7) y D(7,3).
Respuesta:
m2 es la pendiente del segmento final que forma el ángulo, y m1 es la pendiente del lado inicial que forma el ángulo. En nuestro ejemplo, m2 es la mAD y m1 es la mDC (recordemos que los ángulos se miden en sentido antihorario). Entonces tenemos:
que es igual a
Y nos queda: , por lo que
3. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3,2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada.
Respuesta: y=5, la coordenada completa es (4,5)
4. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos A(-2,1), B(3,4) y C(5,-2). Comprobar los resultados.
Respuesta: Los ángulos son: 77°28’, 54°10’ y 48°22’
5. Por medio de la pendiente demuestre que los tres puntos A(6,-2), B(2,1) y C(-2,4) son colineales.
Respuesta:
Si los tres puntos son colineales, están sobre la misma recta, por lo que si obtengo la pendiente de y ó y ó y , deben ser la misma.
Por lo tanto son colineales
6. Por medio de la pendiente demuestre que los tres puntos A(2,5), B(8,-1) y
C(-2,1) son los vértices de un triángulo rectángulo y hallar sus ángulos agudos.
Como la condición de perpendicularidad es m1m2 =-1, observamos que si multiplicamos mAB por mAC , queda -1(1)=-1, o sea que son perpendiculares las rectas con esas pendientes, y como esas rectas son los lados de un triángulo, el triángulo es rectángulo.
LUGARES GEOMÉTRICOS
Se denomina Lugar Geométrico al conjunto de puntos en el plano que satisfacen una ecuación.
Ejemplo
Obtener el lugar geométrico de los puntos que satisfacen a la ecuación x+y=5
Se puede realizar una tabla en la que se den algunos valores de la variable ‘x’ y obtener sus respectivas ordenadas ‘y’, las cuales cumplirán que la suma de la abscisa más su ordenada sea siempre 5.
Graficando los puntos se obtiene:
Como se observa en la gráfica anterior sólo están ilustrados los puntos que se utilizaron en la tabla; debido a que las variables ‘x’ y ‘y’ representan a números reales, para representarlos debemos unirlos y extenderlos hacia ambos sentidos ya que la recta que se forma tiene una infinidad de puntos que cumplen con la condición dada.
También podemos encontrar la expresión matemática que describe un lugar geométrico, a partir de ciertas condiciones que ocurran. Por ejemplo:
Determinar la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos del plano que cumplen que su distancia al origen es siempre igual a dos.
Lo que tenemos que encontrar es una ecuación en la que cualquier punto P de coordenadas (x,y) cumpla la condición de que su distancia al origen O(0,0), es siempre igual a dos, como se muestra en la figura:
Al utilizar la fórmula para obtener la distancia entre dos puntos y sustituir los datos del problema se obtiene:
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación, se obtiene:
22= x2 + y2
Por lo que la ecuación del conjunto de puntos P(x,y) que cumplen que su distancia al origen es siempre igual a dos es:
x2 + y2 = 4
Ejercicios de lugares geométricos
1. Determinar la ecuación algebraica de los puntos P(x,y) que equidistan de los puntos (-3,5) y (7,-9).
Solución: como equidistan, la distancia de P, a cada punto es la misma, por lo que se igualan las expresiones:
Elevando al cuadrado cada término:
Transponiendo términos
Simplificando:
Que es la solución
2. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos A(3,5) y B(-4,2) es igual a 30
Respuesta:
3. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los puntos A(2,-2) y B(4,1) es igual a 12. (Dos casos)
Primer caso:
Segundo caso:
4. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto P(2,4) es igual a su distancia al eje Y aumentada en 3. Halla la ecuación de dicho lugar geométrico.
Respuesta:
5. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancia a los puntos A(3,0) y B(-3,0) es igual a 8.
Sea P(x,y) el punto que se mueve en el plano; la distancia del punto P al punto A, está dada mediante la fórmula:
Y la del punto P al punto B, está dada mediante:
Como el ejercicio dice que la suma de sus distancias es igual a 8, tenemos:
La cual la podemos acomodar de la siguiente forma:
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, y desarrollando los binomios al cuadrado:
Transponiendo términos y efectuando las operaciones:
Elevamos al cuadrado nuevamente ambos miembros de la ecuación:
Reduciendo términos:
Que es la respuesta buscada.
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